Главная / Публикации / Ю.С. Владимирова. «Трехзначная логика Льюиса Кэрролла как основа компьютеризации содержательного рассуждения»

Ю.С. Владимирова. «Трехзначная логика Льюиса Кэрролла как основа компьютеризации содержательного рассуждения»

Опубликовано: Н.П. Брусенцов, Ю.С. Владимирова. Аристотелева силлогистика в символической логике Льюиса Кэрролла. М: — Фонд «Новое тысячелетие», 2011. С. 6—9.

Для компьютеризации содержательного рассуждения, основанного на выявлении взаимосвязей между сущностями рассматриваемых вещей, требуется адекватное представление исследуемых взаимосвязей, в первую очередь, наиболее значимой из них — содержательного следования. При истолковании x и y как особенностей, характеризующих исследуемые вещи, отношение содержательного следования x ⇒ y имеет место, когда сущность y содержится в сущности x, т. е. x = xy. Эта взаимосвязь не допускает совмещения особенности x с y' — противоположностью y, а x' — противоположность X должна содержаться в y': y' = x'у'. При этом о совместимости x' и y сказать ничего нельзя: они возможно совместимы, но могут быть и несовместимыми, — тогда имеет место эквивалентность x = у.

В математической логике в качестве модели следования принимается материальная импликация x ⊃ y = xy ∨ x'y ∨ x'y', в выражении которой все три конъюнкции xy, x'y, x'y' равноправны. В условиях двухзначности возможную, но не необходимую несовместимость x' с y выразить нельзя, x'y оказывается необходимым, в результате чего материальной импликацией формально допускаются взаимосвязи между никак не связанными в действительности вещами. Например, считается, что имеется взаимосвязь x ⊃ y, когда ни одного x нет, а y — произвольный. Отсутствие в двухзначной логике средств выражения отношения следования, обусловленное неразличимостью отношений, вынуждаемых сущностями вещей, и формальных отношений, возникающих лишь в силу свойств материальной импликации, но не имеющих места в реальности, ограничивает практическое применение двухзначной логики.

Указанный недостаток устраняется введением третьего значения, выражающего не необходимость, возможность. Обозначая несовместимость особенностей индексом 0, приписываемым к конъюнкции, и считая умалчиваемые конъюнкции не необходимыми, получим трехзначное обобщение булевой алгебры, допускающее три статуса членов ДНФ — «необходимо дан», «необходимо исключен» и «возможен». Наличие третьего-привходящего статуса позволяет непарадоксально выразить отношение содержательного следования:

(x ⇒ y) = xy ∨ x'y' ∨ xy'₀.

Естественный способ выражения взаимосвязей между вещами изобрел Льюис Кэрролл, использовавший как средство для обучения содержательной логике силлогистику Аристотеля [1]. В его трехзначной алгебре логические взаимосвязи задаются совокупностями вещей, характеризуемых присущими им особенностями.

Характеристики вещей строятся посредством булевых связок. Конъюнкция обозначающих особенности букв-терминов выражает совместную присущность этих особенностей некоторой вещи, и представляет собой характеристику всех обладающих этой особенностью вещей — соответствующего класса вещей. Например, конъюнкция xy'z характеризует вещи, которым одновременно присущи три особенности х, y', и z. Умалчивание в характеристике класса особенности и ее противоположности означает несущественность для данной вещи соответствующего качества, например, вещи xz = xyz ∨ xy'z могут обладать как y, так и его противоположностью y', особенность y для xz-вещей несущественна. В общем случае особенности вещей представляются произвольными булевыми выражениями, которые для дальнейшего изложения удобно полагать приведенными в СДНФ.

Третье значение «несущественность» Кэрролл использует не только для умалчивания особенностей в характеристиках вещей, но и для обозначения возможного существования вещи в совокупности наряду с необходимым их существованием и несуществованием. Так если в методе диаграмм [1] клетка, соответствующая xy-вещам, занята красной фишкой (алгебраически Vxy), то в совокупности, соответствующей диаграмме, существуют xy-вещи, если черной фишкой (V'xy), xy-вещи исключены, а если клетка остается пустой — они возможны.

В логике Кэрролла исследуются всевозможные совокупности вещей, в том числе и такие, которым не соответствуют реальные взаимосвязи. Например, суждение «Ни один x не есть y». Кэрролл понимает как совокупность V'xy, в которой может не быть ни одного x и ни одного y, допуская таким образом отношения между несуществующими вещами, невозможные в силлогистике Аристотеля. Привести логику Кэрролла в соответствие с аристотелевским пониманием отношений можно, приняв предполагаемое в силлогистике применительно к качествам сосуществование противоположностей [3], — принцип, согласно которому каждая рассматриваемая особенность вместе со своей противоположностью должна быть представлена в рассмотрении хотя бы одной вещью, или, что то же самое, непустота классов x, x', y, y'. Благодаря соблюдению этого принципа, в силлогистике исключаются рассуждения о несуществующем, приводящие к парадоксам. Например, отношение следования x ⇒ y определяется в скорректированной логике Кэрролла совокупностью Vxy Vx'y' V'xy', где Vxy и Vx'y' означают необходимое — существование в совокупности xy- и x'y'-вещей, V'xy' — непременное отсутствие xy'-вещей, а x'y-вещи, о которых ничего не сказано возможны. Класс вещей, принадлежащих указанной совокупности характеризуется в алгебре, обобщенной введением третьего значения, как xy ∨ xy'₀ ∨ x'y'.

Метод диаграмм Кэрролла [1], скорректированный в соответствии с принятием сосуществования противоположностей, раскрывает сущность исследуемых взаимосвязей: они оказываются вынуждаемыми несовместимостью некоторых особенностей. В рассмотренном примере отношение следования необходимо возникает в условиях сосуществования противоположностей, когда особенности x и y' оказываются несовместимыми: поскольку xy'-вещи не существуют, появляется необходимость существования xy- и x'y'-вещей, а существование x'y-вещей ничем не вынуждается.

В методе диаграмм, представляющих совокупности вещей, сформулированы способы оперирования этими совокупностями, которые алгебраически выражаются в виде следующих очевидных правил [4, 5]:

1. V'(xy ∨ xy') ≡ V'xy V'xy' — если класс пуст, пусты все его подклассы;

2. Vx V'xy' ≡ Vxy V'xy' — если класс непуст, но один из его подклассов пуст, дополнение этого подкласса до непустого класса непусто;

3. V(xy ∨ xy') ≡ Vxy ∨ Vxy' — непустота класса вещей тождественна непустоте хотя бы одного его подкласса;

4. Vxy ⇒ Vx — из непустоты подкласса следует и непустота охватывающего его класса вещей.

Использование приведенных правил позволяет исчерпывающе выразить традиционную силлогистику Аристотеля, исследующую отношения между несоставными особенностями [3], каждая из которых соответствует наличию либо отсутствию у вещи только одного качества. Очевидно, что обобщенная введением третьего-привходящего статуса булева алгебра допускает выражение отношений между составными особенностями, представленными произвольными выражениями и нахождение взаимосвязей между такими особенностями. Эта задача рассматривалась и Кэрроллом — введенные им методы индексов и деревьев [2] нацелены на расширение возможностей силлогистики посредством решения соритов — задач, содержащих произвольное количество посылок, а также рассмотрения суждений, связывающих составные особенности, таких как, «Всякий xy есть z».

Система совместно данных посылок в общем случае может включать произвольное количество отношений между составными особенностями, представленными булевыми выражениями, из n задающих универсум рассмотрения несоставных особенностей x₁,...,x_n. В соответствии с принципом сосуществования противоположностей, все x₁,...,x_n и их противоположности не пусты.

Исходные посылки конъюнктивно совмещаются, при этом, согласно правилу (1) все выражения, характеризующие пустые классы могут быть сведены к одной СДНФ, обозначим ее N(x₁,...,x_n) (от кэрролловского nullity). По правилу (3), система посылок содержит не менее 2n выражений в СДНФ, соответствующих классам, обязанным не быть пустыми (в частности, классам x₁, x'₁,...,x_n, х_n'), обозначим их E₁(x₁,...,x_n), E_k(x₁,...,x_n) (от entity). Заметим, что обязаны существовать вещи, характеризуемые каждым выражением E_i(x₁,...,x_n), однако конъюнкции, входящие в каждую СДНФ E_i(x₁,...,x_n) возможны, но не необходимы. Правило (2) позволяет удалить из каждой E_i(x₁,...,x_n) конъюнкции, входящие в N(x₁,...,x_n), при этом ни одно из E_i(x₁,...,x_n) не может исчерпать все свои конъюнкции, поскольку это приведет к рассмотрению особенности (простой или составной), не представленной ни одной вещью.

Отыскание взаимосвязи между некоторыми составными особенностями f(x₁,...,x_n) и g(x₁,...,x_n), производится выявлением несовместимости f либо ее противоположности f' с g либо с ее противоположностью g'. Например, если f и g' оказываются несовместимыми, то имеет место отношение следования (f ⇒ g) ≡ (g' ⇒ f'), а если несовместимы f и g — отношение (f ⇒ g') ≡ (g ⇒ f').

Несовместимость f и g обнаруживается сопоставлением конъюнкции fg с выражением N(x₁,...,x_n) и каждой СДНФ f и g со всеми E_i(x₁,...,x_n). Если в N(x₁,...,x_n) содержатся все конъюнкции из fg, можно сделать вывод о пустоте класса fg, но это еще не обеспечивает несовместимости, которая возникает лишь между непустыми особенностями. Поэтому требуется еще проверить непустоту f и g, для которой необходимо, чтобы среди E_i(x₁,...,x_n) имелось как подвыражение f так и подвыражение g.

Такой способ представления отношений и выявления взаимосвязей является естественной основой для компьютеризации рассуждений. Представление булевых выражений N(x₁,...,x_n) и E_i(x₁,...,x_n) соответствующими типами данных — шкалами битов, в которых битам сопоставлены конъюнкции СДНФ, позволяет просто трансформировать правила оперирования суждениями в алгоритмы, осуществляющие умозаключения. Дальнейшее развитие кэрролловского метода алгебраизации рассуждения состоит в рассмотрении несоставных особенностей, выраженных в обобщенной добавлением третьего значения булевой алгебре.

Пример. Пусть имеются две посылки xy ⇒ z и xy' ⇒ z, требуется установить, как взаимосвязаны особенности x и z.

(xy ⇒ z') ≡ V'xyz' Vxyz V(x' ∨ y')z' Vx Vx' Vy' Vz Vz',

(хy' ⇒ z) ≡ V'xy'z' Vxy'z V(x' ∨ y)z' Vx Vx' Vy' Vz.

(xy ⇒ z)(xy' ⇒ z) ≡ V'(xyz' ∨ xy'z') Vxyz V(x' ∨ y')z' Vxy'z V(x' ∨ y)z' Vx Vx' Vy' Vz Vz'.

Шкала для N(x, y, z) ≡ (xyz' ∨ xy'z') равна 00001010, где младшей (правой) единице соответствует индивидная конъюнкция xyz. Аналогично представляются шкалы для E_i(x, y, z): выражению E₁(x, y, z) ≡ xyz соответствует шкала 00000001, выражению E₂(x, y, z) ≡ (x' ∨ y')z' — шкала 10101000, E₃(x, y, z) ≡ xy'z — шкала 00000100, E₄(x, y, z) ≡ (x' ∨ y)z' — шкала 10100010 и т.д. Предположим, что особенности x и z связаны отношением следования (x ⇒ z) ≡ V'xz' Vxz Vx'z', тогда особенности x и z' несовместимы, т.е. xz'-вещей не существуют, но существуют xz и x'z'-вещи. Для того, чтобы проверить, выполнены ли указанные условия, необходимо убедиться, что конъюнкция xz' входит в выражение N(x, y, z), а конъюнкции xz ≡ xyz ∨ xy'z и x'z' ≡ x'yz' ∨ x'y'z' содержат какие-либо из E_i как подвыражения. Действительно, шкала 000001010, представляющая xz' совпадает со шкалой для N(x, y, z), а шкалы 00000101 для xz и 10100000 для x'z' содержат единицы в битах, в которых единицы содержатся в E₁ и E₃, т.е. xz- и x'z'-вещи существуют, и имеет место отношение x ⇒ z имеет место.

Литература

1. Кэрролл Л. Символическая логика. // История с узелками. — М.: «Мир», 1973.

2. Carroll L. Symbolic logic / Ed., with annotations a. an introd. By Bartley W.W. — N.Y.: Clarkson N. Potter, 1977. — XXV, 496 p. — Cont.: Pt I: Elementary, Pt 2: Advanced, never previously published.

3. Брусенцов Н.П., Владимирова Ю.С. Конструктная компьютеризация силлогистики // Математические методы распознавания образов. ММРО-13. — М.: МАКС-Пресс, 2007. С. 10—13.

4. Брусенцов Н.П. Полная система категорических силлогизмов Аристотеля. // Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып. 19. — М.: Изд-во Моек, ун-та, 1982. С. 3—17.

5. Владимирова Ю.С. Компьютеризация содержательного рассуждения на основе силлогистического вывода. // Программные системы и инструменты № 12. Под ред. Л.Н. Королева. — М.: Издательский отдел ВМиК МГУ, 2010. С. 92—97.